~ MATHEMATIQUES ~
Si les mathématiques sont pour vous une matière obscure, qui vous est toujours restée incomprise,
ou si vous souhaitez enfin découvrir ces fameux théorèmes qui bouleversent actuellement le monde scientifique,
alors voici une série de démonstrations qui devrait (peut-être) vous aider à y voir plus clair... :)

Démonstration n°1 :

  X = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 + 1   (X>0 par définition)
      \-------- X fois ---------/

    2×X = 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 + 2
          \-------- X fois ---------/

       (intégration par rapport à X)

   X² = 2X + 2X + 2X + ... + 2X + 2X + 2X = 2X×X = 2X²
        \----------- X fois ------------/

         X² = 2X² (on peut diviser par X² car X<>0)

                  Donc  1 = 2

Démonstration n°2 :

            (-1)½ = (-1)½

          ( -1 )½   ( -1 )½
          (----)  = (----)
          (  1 )    (  1 )

          ( -1 )½   (  1 )½
          (----)  = (----)
          (  1 )    ( -1 )

          ( -1 )½   (  1 )½
           ----   =  ----
          (  1 )½   ( -1 )½

         (produit en croix)

( -1 )½ ×( -1 )½  = ( 1 )½ ×( 1 )½

         Donc  -1 = 1

La même sous une forme légèrement différente :

-1 = ( -1 )½ ×( -1 )½ = ((-1)×(-1))½ = (1)½ = 1

Démonstration n°3 :

      soit l'équation   x² + x + 1 = 0

         x² + x + 1 = 0  <=>  x = -1 -x²                (1)

                                        1
        x² + x + 1 = 0   <=>   x + 1 + --- = 0          (2)
                                        x
  (on peut diviser par x car x<>0 : x=0 n'est pas solution:
                  0 + 0 + 1 <> 0 donc x<>0)

                                  1                 1
   (1) dans (2) =>  -1 -x² + 1 + --- =0  <=>  x² = ---
                                  x                 x

   (produit en croix)  <=>  x³ = 1  <=>  x = 1

   donc x=1 est solution  <=>  1 + 1 + 1 = 0  <=>  3 = 0

                       Donc  3 = 0

Démonstration n°4 :

On a Ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... » 0,6931

           = (1 + 1/3 + 1/5 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ...)                (1)

On a par ailleurs 0 = (1/2 + 1/4 + 1/6 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ...)     (2)

En ajoutant membre à membre (1) et (2) on trouve :

Ln(2) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...) - 2×(1/2 + 1/4 + 1/6 + ...)
      = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...)
      = 0

                           Donc Ln(2) = 0

Démonstration n°5 :

Soient a et b deux nombres positifs tels que : a > b

<=>  a×b > b²  <=>  a×b - a² > b² - a²  <=>  a×(b-a) > (b-a)×(b+a)  <=>  a > b + a

                Donc tout nombre positif est plus grand que lui-même
        (et même plus grand que tout nombre positif plus grand que lui-même)

Démonstration n°6 :

Soit A le plus grand entier.
Pour tout entier A supérieur à 1, le carré (entier) A² de cet entier A, est plus grand que A, donc A n'est pas le plus grand entier.
Sauf si A est égal à 1, la carré de 1 étant égal à 1.
Donc 1 est le plus grand entier.

Démonstration n°7 :

On a sin(45°) = cos(45°) = Ö2/2

donc en x=45°  sin(x) = cos(x)

donc en x=45°  sin(x)' = cos(x)'   or  sin(x)' = cos(x)  et  cos(x)' = -sin(x)

donc en x=45°  cos(x) = -sin(x)  c'est-à-dire  cos(45°) = -sin(45°)  et donc  Ö2/2 = -Ö2/2

                           Donc Ö2/2 = -Ö2/2

Démonstration n°8 :

                   x+5       4x-40
Soit l'équation    --- - 5 = -----
                   x-7        13-x

       x+5 - 5(x-7)   4x-40           4x-40    4x-40
<=>    ------------ = -----    <=>    -----  = -----
           x-7         13-x            7-x      13-x

Comme les numérateurs sont égaux, les dénominateurs le sont aussi : 7-x = 13-x

                            Donc 7 = 13

Démonstration n°9 (la seule correcte) :

   soit A = 0,9999999999...

     10×A = 9,9999999999...

       10×A -A = 9 = 9×A

           1 = A

   Donc  1 = 0,9999999999...